Question

18．在坐標(biāo)平面xOy內(nèi)，點(diǎn)A（x，y）（不是原點(diǎn)）的“k-相好點(diǎn)”B是指：滿足|OA|•|OB|=k（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）且在射線OA上的點(diǎn)，若點(diǎn)P₁，P₂，…P₂₀₁₇是直線y=-2x+10上的2017個(gè)不同的點(diǎn)，他們的“10-相好點(diǎn)”分別是${P_1}^/，{P_2}^/，…{P_{2017}}^/$
（1）若P₁（2，6），求${P_1}^/$的坐標(biāo)；
（2）證明：點(diǎn)${P_1}^/，{P_2}^/，…{P_{2017}}^/$共圓，并求出圓的方程C；
（3）第（2）問中的圓C與x軸交于M，T兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)T的右側(cè)），過點(diǎn)M作直線MP，MR且k_MP+k_MR=0，兩直線與圓C的另外一個(gè)交點(diǎn)分別為P，R．直線PR的斜率是否為定值？若是，求出這個(gè)定值，若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）點(diǎn)${P_1}^/$在直線y=3x上，且在射線OP₁上，利用$|O{P_1}^/|=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，求${P_1}^/$的坐標(biāo)；
（2）利用三角形相似，證明${P_1}^/$，${P_2}^/，{P_3}^/，…{P_{2017}}^/$都在以$O{Q_1}^/$為直徑的圓上，即可求出圓的方程C；
（3）求出P，R的坐標(biāo)，可得直線PR的斜率．

解答 解：（1）由題意：$|O{P_1}|=2\sqrt{10}$，由$|O{P_1}||O{P_1}^/|=10$
則$|O{P_1}^/|=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$
又點(diǎn)${P_1}^/$在直線y=3x上，且在射線OP₁上，設(shè)點(diǎn)${P_1}^/（x，3x）$

所以$\sqrt{{x^2}+9{x^2}}=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$則${P_1}^/（\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$
證明：（2）過點(diǎn)O作OQ₁⊥直線y=-2x+10，垂足為Q₁，設(shè)Q₁的“10-相好點(diǎn)”為${Q_1}^/$
則$|O{Q_1}||O{Q_1}^/|=10$
又∵$|O{P_1}||O{P_1}^/|=10$
∴$|O{P_1}||O{P_1}^/|=|O{Q_1}||O{Q_1}^/|$即：$\frac{{|O{P_1}|}}{{|O{Q_1}|}}=\frac{{|O{Q_1}^/|}}{{|O{P_1}^/|}}$
又$∠{P_1}O{Q_1}=∠{Q_1}^/O{P_1}^/$，
∴$△O{P_1}{Q_1}相似△O{Q_1}^/{P_1}^/$，
∴$∠O{P_1}^/{Q_1}^/=∠O{Q_1}{P_1}={90^0}$
∴${P_1}^/$在以$O{Q_1}^/$為直徑的圓上，
同理可證：${P_2}^/，{P_3}^/，…{P_{2017}}^/$都在以$O{Q_1}^/$為直徑的圓上
所以點(diǎn)${P_1}^/，{P_2}^/，…{P_{2017}}^/$共圓
由題意$\left\{\begin{array}{l}y=-2x+10\\ y=\frac{1}{2}x\end{array}\right.$聯(lián)立求解，得Q₁（4，2）
由于$|O{Q_1}||O{Q_1}^/|=10$且${Q_1}^/$在射線OQ₁上
所以${Q_1}^/（2，1）$
則圓C的方程為：${（x-1）^2}+{（y-\frac{1}{2}）^2}=\frac{5}{4}$
解：（3）由于題得M（2，0）
設(shè)直線MP的直線方程為：y=k（x-2），顯然直線MR的直線方程為：y=-k（x-2）
則$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-2）\\{（x-1）^2}+{（y-\frac{1}{2}）^2}=\frac{5}{4}\end{array}\right.$可得：（k²+1）x²-（4k²+k+2）x+（4k²+2k）=0，
由韋達(dá)定理：${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}+k+2}}{{{k^2}+1}}$
因?yàn)橐阎�一個(gè)根為2，則：${x_P}=\frac{{2{k^2}+k}}{{{k^2}+1}}$
所以點(diǎn)$P（\frac{{2{k^2}+k}}{{{k^2}+1}}，\frac{{{k^2}-2k}}{{{k^2}+1}}）$同理點(diǎn)$R（\frac{{2{k^2}-k}}{{{k^2}+1}}，\frac{{{k^2}+2k}}{{{k^2}+1}}）$
所以${k_{PR}}=\frac{{（{k^2}+2k）-（{k^2}-2k）}}{{（2{k^2}-k）-（2{k^2}+k）}}=-2$所以：直線PR的斜率為定值-2

點(diǎn)評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度大．