Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-x²+ax．
（1）若函數(shù)f（x）在（0，e]上單調(diào)遞增，試求a的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)C（1，f（1））處的切線為l，證明：函數(shù)f（x）圖象上的點(diǎn)都不在直線l的上方．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到$a≥2x-\frac{1}{x}$在（0，e]上恒成立，即$a≥{（{2x-\frac{1}{x}}）_{max}}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到切線方程，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（1）f（x）=lnx-x²+ax定義域為（0，+∞），…（1分）
因為f（x）在（0，e]上單調(diào)遞增，
所以$f'（x）=\frac{1}{x}-2x+a≥0$在（0，e]上恒成立…（2分）
所以$a≥2x-\frac{1}{x}$在（0，e]上恒成立，即$a≥{（{2x-\frac{1}{x}}）_{max}}$…（3分）
而$2x-\frac{1}{x}$在（0，e]上單調(diào)遞增，所以${（{2x-\frac{1}{x}}）_{max}}=2e-\frac{1}{e}$…（5分）
所以$a≥2e-\frac{1}{e}$…（6分）
（2）因為f'（1）=1-2+a=a-1，…（7分）
所以切點(diǎn)C（1，a-1），故切線l的方程為y-（a-1）=（a-1）（x-1），
即y=（a-1）（x-1）+a-1=（a-1）x…（8分）
令g（x）=f（x）-（a-1）x，則g（x）=lnx-x²+x…（9分）
則$g'（x）=\frac{1}{x}-2x+1=\frac{{-2（{x-1}）（{x+\frac{1}{2}}）}}{x}$…（10分）
所以當(dāng)x變化時，g'（x），g（x）的關(guān)系如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	-
g（x）	↗	極大值	↘

…（11分）
因為g（x）≤g（1）=0，所以函數(shù)f（x）圖象上不存在位于直線l上方的點(diǎn)…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．