11.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:A1B∥平面ADC1
(Ⅱ)若AB⊥AC,AB=AC=1,AA1=2,求平面ADC1與平面ABC所成的銳二面角的正切值.

分析 (1)連結(jié)A1C,交A1C于點(diǎn)E,則點(diǎn)E是A1C及A1C的中點(diǎn),由中位線定理可得DE∥A1B,再由線面平行的判定得答案;
(2)由已知可得∠C1DC即為平面ADC1與平面ABC所成的銳二面角的平面角,然后求解直角三角形求得平面ADC1與平面ABC所成的銳二面角的正切值.

解答 (1)證明:如圖,
連結(jié)A1C,交A1C于點(diǎn)E,則點(diǎn)E是A1C及A1C的中點(diǎn),
連結(jié)DE,則DE∥A1B,∵DE?平面ADC1,A1B?平面ADC1,
∴A1B∥平面ADC1;

(2)解:∵三棱柱ABC-A1B1C1中是直三棱柱,
∴平面ADC⊥平面平面B1BCC1,
∵AB=AC,D是BC的中點(diǎn),∴AD⊥BC,
∴AD⊥平面B1BCC1,從而AD⊥C1D,又AD⊥BC,
∴∠C1DC即為平面ADC1與平面ABC所成的銳二面角的平面角,
在Rt△ABC中,由AB=AC=1,求得CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
在Rt△C1CD中,∵C1C=2,∴$tan∠{C_1}DC=2\sqrt{2}$.
∴平面ADC1與平面ABC所成的銳二面角的正切值為$2\sqrt{2}$.

點(diǎn)評 本題考查直線與平面平行的判定,考查二面角的平面角的求法,考查空間想象能力和思維能力,是中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

1.拋擲一均勻的正方體玩具(各面分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6),事件A表示“朝上一面的數(shù)是奇數(shù)”,事件B表示“朝上一面的數(shù)不超過3”,則P(A∪B)=$\frac{2}{3}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

2.設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-x2+ax.
(1)若函數(shù)f(x)在(0,e]上單調(diào)遞增,試求a的取值范圍;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)C(1,f(1))處的切線為l,證明:函數(shù)f(x)圖象上的點(diǎn)都不在直線l的上方.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

19.f(x)=$\frac{1}{\sqrt{-lo{g}_{2}x}}$的定義域?yàn)閧x|0<x<1}.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

6.已知函數(shù)f(x)=x3-2x2+x.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的極值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

16.若定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足f(x)+g(x)=x2+3x+1.則f(x)=x2+1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

3.已知集合E={正方體},F(xiàn)={四棱柱},G={長方體},則有( 。
A.E⊆F⊆GB.F⊆G⊆EC.G⊆E⊆FD.E⊆G⊆F

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

20.在△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC于D,則$\frac{1}{A{D}^{2}}$=$\frac{1}{A{B}^{2}}$+$\frac{1}{A{C}^{2}}$,類比上述結(jié)論,在四面體ABCD中,若AB,AC,AD兩兩垂直,AE⊥平面BCD,則$\frac{1}{A{E}^{2}}$=$\frac{1}{A{D}^{2}}$+$\frac{1}{A{B}^{2}}$+$\frac{1}{A{C}^{2}}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

1.在△ABC中,已知b=3,c=3$\sqrt{3}$,∠B=30°,則∠A=( 。
A.60°B.90°C.30°D.30°或90°

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案