Question

3．已知△ABC，若存在△A₁B₁C₁，滿足$\frac{cosA}{sin{A}_{1}}$=$\frac{cosB}{cos{B}_{1}}$=$\frac{cosC}{sin{C}_{1}}$=1，則稱△A₁B₁C₁是△ABC的一個(gè)“友好”三角形．若等腰△ABC存在“友好”三角形，則其頂角的度數(shù)為$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 設(shè)等腰△ABC中A=B，由已知得sinA₁=sinB₁，cosA=sinA₁，cosB=sinB₁，cosC=sinC₁，則A₁=B₁，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)求值即可．

解答 解：設(shè)A=B，由已知得sinA₁=sinB₁，cosA=sinA₁，cosB=sinB₁，cosC=sinC₁，則A₁=B₁，
所以$A+{A_1}=\frac{π}{2}$，$B+{B_1}=\frac{π}{2}$，$C+{C_1}=\frac{π}{2}$（舍）或$A+{A_1}=\frac{π}{2}$，$B+{B_1}=\frac{π}{2}$，$C={C_1}-\frac{π}{2}$，
解得$C=\frac{π}{4}$．
故答案是：$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，注意新定義運(yùn)算法則，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．