Question

13．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a，b∈R），若存在非零實(shí)數(shù)t，使得f（t）+$f（\frac{1}{t}）$=-3，則a²+4b²的最小值是37．

Answer 1

分析 由題意可得t²+at+b+$\frac{1}{{t}^{2}}$+$\frac{a}{t}$+b=-3，t+$\frac{1}{t}$=m，|m|≥2，得到-2b=m²+am+1，代入到a²+4b²，構(gòu)造函數(shù)f（a）=（1+m²）a²+2am（m²+1）+（m²+1）²，
利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到f（a）_min=（m²+1）（4m²+1），再令m²=n≥4，構(gòu)造函數(shù)f（n）=（n+1）（4n+1）=4n²+5n+1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出
最小值．

解答 解：∵存在非零實(shí)數(shù)t，使得f（t）+$f（\frac{1}{t}）$=-3，
∴t²+at+b+$\frac{1}{{t}^{2}}$+$\frac{a}{t}$+b=-3，
設(shè)t+$\frac{1}{t}$=m，|m|≥2，
∴m²+am+2b+1=0
∴-2b=m²+am+1，
∴a²+4b²=a²+（m²+am+1）²=（1+m²）a²+2am（m²+1）+（m²+1）²，
設(shè)f（a）=（1+m²）a²+2am（m²+1）+（m²+1）²，
其對(duì)稱軸為a=m，
∴f（a）_min=（1+m²）m²+2m²（m²+1）+（m²+1）²=（m²+1）（4m²+1），
設(shè)m²=n≥4，
則f（n）=（n+1）（4n+1）=4n²+5n+1，
當(dāng)n≥4時(shí)，函數(shù)f（n）為增函數(shù)，
∴f（n）_min=4×4+4×5+1=37
∴a²+4b²≤37
故答案為：37

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“換元法”、基本不等式的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．