Question

【題目】已知函數(shù)，（ ， ）.

（1）若， ，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

（2）若時(shí)，不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)， 時(shí)，記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)是和（），求證： .

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）；（3）詳見解析.

【解析】試題分析：

(1)利用導(dǎo)函數(shù)大于零可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為， .

(2)不等式恒成立轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合題意討論其性質(zhì)可得；

(3)由題意可得（），由根與系數(shù)的關(guān)系： .由題意有

， ，構(gòu)造新函數(shù).利用函數(shù)的性質(zhì)可得.

試題解析：（1）由題意： ， ， 時(shí)，

所以

令，得，因?yàn)?/span>，所以或

所以的單調(diào)增區(qū)間為，

（2）時(shí)， ，

不等式在上恒成立即為： 在區(qū)間上恒成立

令，則，令得： ，

因?yàn)?/span>時(shí)， ， 時(shí)， ，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

所以，所以

（3）方法一：因?yàn)?/span>，所以，從而（）

由題意知， ， 是方程的兩個(gè)根，故.

記，則，因?yàn)?/span>，所以

，所以， ，且（， ）.

因?yàn)?/span>，所以， .

令， .

因?yàn)?/span>，所以在單調(diào)遞增，

所以，即.

方法二：因?yàn)?/span>，所以，從而（）.

由題意知， ， 是方程的兩個(gè)根.記，則，

因?yàn)?/span>，所以， ，

所以， ，且在上為減函數(shù).

所以.

因?yàn)?/span>，故.