Question

16．已知曲線C上任一點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離比它到直線l：x=-2的距離少1．
（1）求曲線C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)Q（1，2）作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線與曲線C分別交于點(diǎn)A、B，試問(wèn)：直線AB的斜率是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的定義可知點(diǎn)P的軌跡是以F為焦點(diǎn)、以直線l：x=-1為準(zhǔn)線的拋物線；
（2）設(shè)出A，B的坐標(biāo)，利用拋物線的方程，結(jié)合直線AQ，BQ傾斜角互補(bǔ)，得出y₁+y₂=-4，代入斜率公式計(jì)算k_AB．

解答 解：（1）因?yàn)镻到點(diǎn)F（1，0）的距離比它到直線l：x=-2的距離少1
所以P到點(diǎn)F（1，0）的距離與它到直線l：x=-1的距離相等
所以由拋物線定義可知點(diǎn)P的軌跡是以F為焦點(diǎn)、以直線l：x=-1為準(zhǔn)線的拋物線…（2分）
所以P=2，…，（4分）
所以曲線C的方程為y²=4x…，（5分）
（2）直線AB的斜率為定值-1，理由如下：…（6分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁²=4x₁，y₂²=4x₂…（7分）
因?yàn)橹本�AQ，BQ傾斜角互補(bǔ)
所以$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}-1}$=0…（9分）
所以化簡(jiǎn)得y₁+y₂=-4…（10分）
所以k_AB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-1 …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的定義與性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．