Question

9．已知函數(shù)f（x）=6lnx-ax²-7x+b（a，b為常數(shù)），且x=2為f（x）的一個極值點．
（1）求a；   
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若y=f（x）的圖象與x軸有且只有3個交點，求b的取值范圍．（ln2=0.693，ln1.5=0.405）

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的解析式，可求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的解析式，進而根據(jù)x=2是f（x）的一個極值點f′（2）=0，可構(gòu)造關(guān)于a的方程，求出a值；
（2）由（1）可得函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的解析式，分析導(dǎo)函數(shù)值大于0和小于0時，x的范圍，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（3）若y=f（x）的圖象與x軸有且只有3個交點，則函數(shù)的極大值與極小值異號，進而構(gòu)造關(guān)于b的不等式，解不等式可得答案．

解答 解：（1）∵f（x）=6lnx-ax²-7x+b，
∴f′（x）=$\frac{6}{x}$-2ax-7，
又∵x=2是f（x）的一個極值點
∴f′（2）=3-4a-7=0，
則a=-1．
（2）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．
由（1）知f（x）=6lnx+x²-7x+b．
∴f′（x）=$\frac{6}{x}$+2x-7=$\frac{（x-2）（2x-3）}{x}$．
由f′（x）＞0可得x＞2或x＜$\frac{3}{2}$，由f′（x）＜0可得$\frac{3}{2}$＜x＜2．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，$\frac{3}{2}$）和（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（$\frac{3}{2}$，2）．
（3）由（2）可知函數(shù)f（x）在（0，$\frac{3}{2}$）單調(diào)遞增，
在（$\frac{3}{2}$，2）單調(diào)遞減，在（2，+∞）單調(diào)遞增．
且當(dāng)x=2或x=$\frac{3}{2}$時，f′（x）=0．
∴f（x）的極大值為f（$\frac{3}{2}$）=6ln$\frac{3}{2}$-$\frac{33}{4}$+b，
f′（x）的極小值為f（2）=6ln2-10+b．
∵當(dāng)x充分接近0時，f′（x）＜0．當(dāng)x充分大時，f（x）＞0．
∴要使的f′（x）圖象與x軸正半軸有且僅有三個不同的交點，
只需f（$\frac{3}{2}$）•f（2）＜0，
即（6ln$\frac{3}{2}$-$\frac{33}{4}$+b）•（6ln2-10+b）＜0，
解得：$\frac{33}{4}$-6ln$\frac{3}{2}$＜b＜10-6ln2．

點評 本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，其中根據(jù)已知條件確定a值，得到函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的解析式并對其符號進行分析，是解答的關(guān)鍵．