Question

12．設a∈R，f（x）=ax²-lnx，g（x）=e^x-ax．
（1）當曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率大于-1時，求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若f（x）•g（x）＞0對x∈（0，+∞）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的導數(shù)，可得切線的斜率，利用曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率大于-1，求出a＞0，運用導數(shù)的正負求出f（x）的單調區(qū)間；
（2）由f（x）＞0對x∈（0，+∞）恒成立，a＞（$\frac{lnx}{{x}^{2}}$）_max，設h（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$（x＞0），求出a的范圍，結合f（x）•g（x）＞0對x∈（0，+∞）恒成立，得到a＜$\frac{{e}^{x}}{x}$對x∈（0，+∞）恒成立．設H（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，求出a的范圍，取交集即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）
∵f（x）=ax²-lnx，
∴f′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$，
∵曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率大于-1，
∴f'（1）=2a-1＞-1，
∴a＞0．
令f′（x）＞0，x＞$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，f′（x）＜0，0＜x＜$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，
∴f（x）的單調遞增區(qū)間是（$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，+∞）；單調遞減區(qū)間是（0，$\sqrt{\frac{1}{2a}}$）；
（2）若f（x）＞0對x∈（0，+∞）恒成立，
即ax²-lnx＞0對x∈（0，+∞）恒成立，則a＞（$\frac{lnx}{{x}^{2}}$）_max，
設h（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$（x＞0），
則h′（x）=$\frac{1-2lnx}{{x}^{3}}$，
當0＜x＜${e}^{\frac{1}{2}}$時，h'（x）＞0，函數(shù)h（x）遞增；
當x＞${e}^{\frac{1}{2}}$時，h'（x）＜0，函數(shù)h（x）遞減．
所以當x＞0時，h（x）_max=h（${e}^{\frac{1}{2}}$）=$\frac{1}{2e}$，
∴a＞$\frac{1}{2e}$．
∵h（x）無最小值，
∴f（x）＜0對x∈（0，+∞）恒成立不可能．
∵f（x）•g（x）＞0對x∈（0，+∞）恒成立，
∴g（x）=e^x-ax＞0，即a＜$\frac{{e}^{x}}{x}$對x∈（0，+∞）恒成立．
設H（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，
∴H′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
當0＜x＜1時，H'（x）＜0，函數(shù)H（x）遞減；
當x＞1時，H'（x）＞0，函數(shù)H（x）遞增，
所以當x＞0時，H（x）_min=H（1）=e，
∴a＜e．
綜上可得，$\frac{1}{2e}$＜a＜e．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想，是一道綜合題．