【題目】已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|xR,且x≠0},對定義域內(nèi)的任意x1、x2,都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且當(dāng)x>1時(shí),f(x)>0.

(1)求證:f(x)是偶函數(shù);

(2)求證:f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).

【答案】(1)見解析 (2)見解析

【解析】證明: (1)因?qū)Χx域內(nèi)的任意x1、x2都有

f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),

令x1=x,x2=-1,

則有f(-x)=f(x)+f(-1).

又令x1=x2=-1,得2f(-1)=f(1).

再令x1=x2=1,得f(1)=0,

從而f(-1)=0,

于是有f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函數(shù).

(2)設(shè)0<x1<x2,

則f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x1·)=f(x1)-[f(x1)+f()]=-f(),

由于0<x1<x2,所以>1,從而f()>0,

故f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),

所以f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),.

(1)當(dāng)時(shí),求的值域;

(2)當(dāng)時(shí),求的最小值;

(3)當(dāng)時(shí),若,都,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】數(shù)列{an}滿足a1= ,an+1﹣1=an(an﹣1)(n∈N*)且Sn= + +…+ ,則Sn的整數(shù)部分的所有可能值構(gòu)成的集合是(
A.{0,1,2}
B.{0,1,2,3}
C.{1,2}
D.{0,2}

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【題目】已知f(x)(exa)2(exa)2(a≥0)

(1)f(x)表示成u(其中u)的函數(shù);

(2)f(x)的最小值.

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【題目】函數(shù),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )

A. 是偶函數(shù) B. 的值域是

C. 方程的解只有 D. 方程的解只有

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【題目】設(shè)集合A=[0, ),B=[ ,1],函數(shù)f (x)= ,若x0∈A,且f[f (x0)]∈A,則x0的取值范圍是(
A.(0, ]
B.[ , ]
C.( ,
D.[0, ]

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【題目】設(shè)f(x)是定義在(﹣∞,+∞)上的偶函數(shù),且它在[0,+∞)上單調(diào)遞增,若a=f( ),b=f( ),c=f(﹣2),則a,b,c的大小關(guān)系是(從小到大排)

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【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn),過點(diǎn)D作⊙O的切線,交AB的延長線于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作AC的垂線,交AD的延長線于點(diǎn)E.

(1)求證:△CDE為等腰三角形;
(2)若AD=2, = ,求⊙O的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】給定橢圓,稱圓為橢圓的“伴隨圓”.已知點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)

(1)若過點(diǎn)的直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求被橢圓的伴隨圓所截得的弦長:

(2)是橢圓上的兩點(diǎn),設(shè)是直線的斜率,且滿足,試問:直線是否過定點(diǎn),如果過定點(diǎn),求出定點(diǎn)坐標(biāo),如果不過定點(diǎn),試說明理由。

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