Question

已知（

x

+

x

2

）ⁿ的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中含有

x

的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)及項(xiàng)的系數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項(xiàng)式定理

分析：由題意，求出二項(xiàng)式的指數(shù)n，然后寫出通項(xiàng)，整理后，從xd的指數(shù)，按照要求解答．

解答： 解：（

x

+

x

2

）ⁿ的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，即1，

C

1 n

×

1

2

，

C

2 n

×

1

4

成等差數(shù)列，所以n=1+

n(n-1)

8

，解得n=1（舍去）或者n=8；
所以二項(xiàng)式為（

x

+

x

2

）⁸，展開式的通項(xiàng)為：Tr+1=

C

r 8

(

x

)8-r(

x

2

)r=(

1

2

)r

C

r 8

x4+

r

2

，r∈（0，8）且r∈Z，令r=1，3，5，7，展開式中含有

x

的項(xiàng)，對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)式系數(shù)：

C

1 8

=8，

C

3 8

=56，

C

5 8

=56，

C

7 8

=8；
項(xiàng)的系數(shù)為：

1

2

×8=4，

1

8

×56=7，

1

32

×56=

7

4

，

1

128

×8=

1

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二項(xiàng)式定理的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)以及項(xiàng)的系數(shù)，關(guān)鍵是明確展開式通項(xiàng)．