13.已知f(x)是可導的函數(shù),且f′(x)<f(x)對于x∈R恒成立,則(  )
A.f(1)<ef(0),f(2 014)>e2014f(0)B.f(1)>ef(0),f(2 014)>e2014f(0)
C.f(1)>ef(0),f(2 014)<e2014f(0)D.f(1)<ef(0),f(2 014)<e2014f(0)

分析 構造函數(shù)g(x)=$\frac{f(x)}{{e}^{x}}$,利用導數(shù)判斷其單調性即可得出.

解答 解:令g(x)=$\frac{f(x)}{{e}^{x}}$,則g′(x)=$\frac{f′(x)-f(x)}{{e}^{x}}$<0.
∴函數(shù)g(x)在R上單調遞減.
∴g(1)<g(0),g(2014)<g(0).
即$\frac{f(1)}{e}<\frac{f(0)}{1}$,$\frac{f(2014)}{{e}^{2014}}<\frac{f(0)}{1}$,
化為f(1)<ef(0),f(2014)<e2014f(0).
故選:D

點評 本題是一個知識點交匯的綜合題,考查綜合運用函數(shù)思想解題的能力.恰當構造函數(shù)g(x)=$\frac{f(x)}{{e}^{x}}$,利用導數(shù)判斷其單調性是解題的關鍵.

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