Question

11．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N₊），則數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=（n+1）•2ⁿ．

Answer 1

分析 由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N₊），利用遞推關(guān)系可得：a_n-2a_n=2ⁿ，變形為$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1，再利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 解：∵S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N₊），
∴n=1時，a₁=2a₁-4，解得a₁=4；
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2ⁿ⁺¹-$（2{a}_{n-1}-{2}^{n}）$，化為：a_n-2a_n=2ⁿ，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1，
∴數(shù)列$\{\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}\}$是等差數(shù)列，公差為1，首項為2．
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=2+（n-1）=n+1，
∴a_n=（n+1）•2ⁿ．
故答案為：a_n=（n+1）•2ⁿ．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．