Question

13．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax，（a∈R，x＞0）．
（1）當a=2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當a＞0時，求函數(shù)f（x）在[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）當a=2時，f（x）=lnx-2x，則f′（x）=$\frac{1-2x}{x}$ （x＞0），分別令f′（x）＞0，f′（x）＜0，解得x范圍即可得出單調(diào)區(qū)間．
（2）由f（x）=lnx-ax，f′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{-ax+1}{x}$，（x，a＞0），分別令f′（x）＞0，f′（x）＜0，解得x范圍，函數(shù)f（x）在$（0，\frac{1}{a}）$上單調(diào)遞增，在$（\frac{1}{a}，+∞）$上單調(diào)遞減．對a與1，2的大小關(guān)系分類討論即可得出單調(diào)區(qū)間及其最值．

解答 解：（1）當a=2時，f（x）=lnx-2x，則f′（x）=$\frac{1}{x}$-2=$\frac{1-2x}{x}$ （x＞0），
令f′（x）＞0，得$0＜x＜\frac{1}{2}$，令f′（x）＜0，解得x$＞\frac{1}{2}$．
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$（0，\frac{1}{2}）$，單調(diào)減區(qū)間為$（\frac{1}{2}，+∞）$．
（2）由f（x）=lnx-ax，f′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{-ax+1}{x}$，（x，a＞0），
令f′（x）＞0，解得$0＜x＜\frac{1}{a}$．令f′（x）＜0，解得$x＞\frac{1}{a}$．
∴函數(shù)f（x）在$（0，\frac{1}{a}）$上單調(diào)遞增，在$（\frac{1}{a}，+∞）$上單調(diào)遞減．
①當$0＜\frac{1}{a}≤1$時，即a≥1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，
∴f（x）的最小值是（2）=ln2-2a．
②當$\frac{1}{a}$≥2，即0$＜a≤\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，
∴f（x）的最小值是f（1）=-a．
③當$1＜\frac{1}{a}$＜2，即$\frac{1}{2}＜a＜1$時，函數(shù)f（x）在$[1，\frac{1}{a}]$上是增函數(shù)，在$[\frac{1}{a}，2]$是減函數(shù)．
又f（2）-f（1）=ln2-a，∴當$\frac{1}{2}＜a＜$ln2時，最小值是f（1）=-a；
當ln2≤a＜1時，最小值為f（2）=ln2-2a．．
綜上可知，當0＜a＜ln2時，函數(shù)f（x）的最小值是f（x）_min=-a；
當a≥ln2時，函數(shù)f（x）的最小值是f（x）_min=ln2-2a．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性極值與最值、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．