Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=m（x-2m）（x+m+3），g（x）=2x-2，若同時(shí)滿足條件：
①對于任意的實(shí)數(shù)x，f（x）和g（x）的函數(shù)值至少有一個(gè)小于0；
②在區(qū)間（-∞，-4）內(nèi)存在實(shí)數(shù)x，使得f（x）g（x）＜0成立；
則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-4，-2）．

Answer 1

分析 由于g（x）=2^x-2≥0時(shí)，x≥1，根據(jù)題意有f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0在x＞1時(shí)成立；由于x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0，而g（x）=2^x-2＜0，則f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＞0在x∈（-∞，-4）時(shí)成立．由此結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求出結(jié)果．

解答 解：解：對于①∵g（x）=2^x-2，當(dāng)x＜1時(shí)，g（x）＜0，
又∵①?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0
∴f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0在x≥1時(shí)恒成立
則由二次函數(shù)的性質(zhì)可知開口只能向下，且二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)都在（1，0）的左面，
則$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{-1-m＜1}\\{2m＜1}\end{array}\right.$，
∴-4＜m＜0即①成立的范圍為-4＜m＜0．
又∵②x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0
∴此時(shí)g（x）=2^x-2＜0恒成立
∴f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＞0在x∈（-∞，-4）有成立的可能，則只要-4比x₁，x₂中的較小的根大即可，
（i）當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，較小的根為-m-3，-m-3＜-4不成立，
（ii）當(dāng)m=-1時(shí)，兩個(gè)根同為-2＞-4，不成立，
（iii）當(dāng)-4＜m＜-1時(shí)，較小的根為2m，2m＜-4即m＜-2成立．
綜上可得①②成立時(shí)-4＜m＜-2．
故答案為：（-4，-2）．

點(diǎn)評 本題主要考查了全稱命題與特稱命題的成立，指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵，是中檔題．