Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}1，x≥0\\-1，x＜0\end{array}$，g（x）=$\frac{x^2}{e^x}$f（x-1），則函數(shù)g（x）的遞增區(qū)間是（-∞，0]，[1，2]．

Answer 1

分析 由f（x）的解析式求得f（x-1）的解析式，得到g（x）的解析式，分段求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，畫出簡(jiǎn)圖得答案．

解答 解：由數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}1，x≥0\\-1，x＜0\end{array}$，得f（x-1）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x≥1}\\{-1，x＜1}\end{array}\right.$，
∴g（x）=$\frac{x^2}{e^x}$f（x-1）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}，x≥1}\\{-\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}，x＜1}\end{array}\right.$，
當(dāng)x≥1時(shí)，g′（x）=$\frac{2x{e}^{x}-{x}^{2}{e}^{x}}{{e}^{2x}}=\frac{2x-{x}^{2}}{{e}^{x}}$，
當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，
當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，g′（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{{e}^{x}}$＜0，
又g（0）=0，g（2）=$\frac{4}{{e}^{2}}＞0$，作出g（x）的圖象如圖：

∴函數(shù)g（x）的遞增區(qū)間是：（-∞，0]，[1，2]．
故答案為：（-∞，0]，[1，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．