Question

7．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，且AD=2BC，AD⊥CD，PA=PD，M為棱AD的中點．
（1）求證：CD∥平面PBM；
（2）求證：平面PAD⊥平面PBM．

Answer 1

分析 （1）證明四邊形BCDM為平行四邊形，可得CD∥BM，利用線面平行的判定定理證明CD∥平面PBM；
（2）利用線面垂直的判定定理證明AD⊥平面PBM，再證明平面PAD⊥平面PBM即可．

解答 證明：（1）因為AD∥BC，且AD=2BC，
所以四邊形BCDM為平行四邊形，
故CD∥BM，
又CD?平面PBM，BM?平面PBM，
所以CD∥平面PBM；（6分）
（2）因為PA=PD，點M為棱AD的中點，
所以PM⊥AD，
又AD⊥CD，CD∥BM，故AD⊥BM，
而PM∩BM=M，PM、BM?平面PBM，
所以AD⊥平面PBM，
又AD?平面PAD，所以平面PAD⊥平面PBM．（14分）

點評 本題考查線面平行、垂直的判定，考查平面與平面垂直，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．