Question

15．已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=BB₁=2，且AB⊥AC，D為BC的中點．
（1）求證：A₁B∥平面AC₁D，并求出中三棱錐B-AC₁D的體積；
（2）在BB₁上是否存在一點M，使得DM⊥平面AC₁D，若存在，請確定M點位置并給出證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接A₁C交AC₁ 于O，則O為A₁C的中點，又D為BC的中點，連接OD，則OD∥A₁B，由三角形中位線定理可得OD∥A₁B，再由線面平行的判定得A₁B∥平面AC₁D；然后利用等積法求三棱錐B-AC₁D的體積；
（2）由（1）知，AD⊥平面BCC₁B₁，在平面BCC₁B₁中，過D作DM⊥DC₁，交BB₁于M，可得DM⊥平面AC₁D，然后利用求解直角三角形得到M點位置．

解答 （1）證明：連接A₁C交AC₁ 于O，則O為A₁C的中點，
又D為BC的中點，連接OD，則OD∥A₁B，
∵A₁B?平面AC₁D，OD?平面AC₁D，
∴A₁B∥平面AC₁D．
由題意可知，AD⊥平面BCC₁，
∵AB=AC=2，AB⊥AC，
∴AD=$\sqrt{2}$，又四邊形BCC₁B₁為長方形，且BB₁=2，$BC=2\sqrt{2}$，
∴${S}_{△BD{C}_{1}}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2=\sqrt{2}$，
∴${V}_{B-A{C}_{1}D}={V}_{A-BD{C}_{1}}=\frac{1}{3}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=\frac{2}{3}$；
（2）解：由（1）知，AD⊥平面BCC₁B₁，在平面BCC₁B₁中，過D作DM⊥DC₁，交BB₁于M，
則DM⊥AD，∴DM⊥平面AC₁D，
設BM=x，則B₁M=2-x，
∴$D{M}^{2}+{C}_{1}{D}^{2}={C}_{1}{M}^{2}$，即x²+2+2+4=（2-x）²+8，解得：x=1．
∴在BB₁上是否存在一點M，使得DM⊥平面AC₁D，此時M為BB₁的中點．

點評 本題考查直線與平面垂直的判斷，考查了空間想象能力和思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．