5.已知函數(shù)f(x)=$\frac{ax+1}{|x|+1}$,x∈R,a∈R.
(1)a=1時,求證:f(x)在區(qū)間(-∞,0)上為單調(diào)增函數(shù);
(2)當(dāng)方程f(x)=3有解時,求a的取值范圍.

分析 (1)求出f(x)的解析式,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可;
(2)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=ax和y=3|x|+2有交點(diǎn),從而求出a的范圍即可.

解答 證明:(1)a=1時,f(x)=$\frac{x+1}{|x|+1}$,
x<0時,f(x)=$\frac{1+x}{1-x}$,
令x1<x2<0,
則f(x1)-f(x2)=$\frac{1{+x}_{1}}{1{-x}_{1}}$-$\frac{1{+x}_{2}}{1{-x}_{2}}$=$\frac{2{(x}_{1}{-x}_{2})}{(1{-x}_{1})(1{-x}_{2})}$,
∵x1<x2<0,
∴(1-x1)(1-x2)>0,x1-x2<0,
∴f(x1)<f(x2),
∴f(x)在區(qū)間(-∞,0)上為單調(diào)增函數(shù);
解:(2)由f(x)=$\frac{ax+1}{|x|+1}$=3,
得:ax=3|x|+2,
畫出函數(shù)y=ax和y=3|x|+2的圖象,如圖示:
,
結(jié)合圖象,a>3或a<-3.

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的證明,考查方程根的問題,考查轉(zhuǎn)化思想,數(shù)形結(jié)合思想,是一道中檔題.

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