Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ax+1}{|x|+1}$，x∈R，a∈R．
（1）a=1時(shí)，求證：f（x）在區(qū)間（-∞，0）上為單調(diào)增函數(shù)；
（2）當(dāng)方程f（x）=3有解時(shí)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的解析式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=ax和y=3|x|+2有交點(diǎn)，從而求出a的范圍即可．

解答 證明：（1）a=1時(shí)，f（x）=$\frac{x+1}{|x|+1}$，
x＜0時(shí)，f（x）=$\frac{1+x}{1-x}$，
令x₁＜x₂＜0，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1{+x}_{1}}{1{-x}_{1}}$-$\frac{1{+x}_{2}}{1{-x}_{2}}$=$\frac{2{（x}_{1}{-x}_{2}）}{（1{-x}_{1}）（1{-x}_{2}）}$，
∵x₁＜x₂＜0，
∴（1-x₁）（1-x₂）＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在區(qū)間（-∞，0）上為單調(diào)增函數(shù)；
解：（2）由f（x）=$\frac{ax+1}{|x|+1}$=3，
得：ax=3|x|+2，
畫(huà)出函數(shù)y=ax和y=3|x|+2的圖象，如圖示：
，
結(jié)合圖象，a＞3或a＜-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的證明，考查方程根的問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．