Question

3．已知：a_n=log_（n+1）（n+2）（n∈Z^*），若稱使乘積a₁•a₂•a₃…a_n為整數的數n為劣數，則在區(qū)間（1，20016）內所有的劣數的和2026．

Answer 1

分析 由題意，及對數的換底公式知，a₁•a₂•a₃…a_n=log₂（n+2），由此知，劣數+2必為2的整數次冪，由此易得出劣數表達式，此區(qū)間（1，2016）內所有劣數的和是一個數列求和問題，由此計算出值選出正確答案

解答 解：由題意a_n=log_（n+1）（n+2），（n∈N^*），若稱使乘積a₁•a₂•a₃…a_n為整數的數n為劣數且a₁•a₂•a₃…a_n=log₂（n+2）
故劣數n=2^k-2，故最小的劣數為2=2²-2，令n=2^k-2＜2016，
由于2¹⁰-2=1022，2¹¹-2=2046
故最大的劣數為2¹⁰-2
∴（1，2010）內所有劣數的和為2²-2+2³-2+2⁴-2+…+2¹⁰-2=$\frac{{2}^{2}×（1-{2}^{9}）}{1-2}$-18=2¹¹-22=2026
故答案為：2026

點評 本題考查數列的求和，正確理解劣數定義，找出區(qū)間（1，2016）內所有劣數，以及熟練掌握數列求和的技巧分組求和是求解本題的關鍵，本題中難點是理解劣數的定義，由此定義得出劣數的結構，將求和的問題轉化為數列求和的問題．