Question

若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，則不等式f（x）＞

3

ex

+1（e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（　�。�

• A、（0，+∞）
• B、（-∞，0）∪（3，+∞）
• C、（-∞，0）∪（0，+∞）
• D、（3，+∞）

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,其他不等式的解法

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：不等式f（x）＞

3

ex

+1可化為e^xf（x）-e^x-3＞0；令F（x）=e^xf（x）-e^x-3，從而利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求解．

解答： 解：不等式f（x）＞

3

ex

+1可化為
e^xf（x）-e^x-3＞0；
令F（x）=e^xf（x）-e^x-3，
則F′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x
=e^x（f（x）+f′（x）-1）；
∵f（x）+f′（x）＞1，
∴e^x（f（x）+f′（x）-1）＞0；
故F（x）=e^xf（x）-e^x-3在R上是增函數(shù)，
又∵F（0）=1×4-1-3=0；
故當x＞0時，F(xiàn)（x）＞F（0）=0；
故e^xf（x）-e^x-3＞0的解集為（0，+∞）；
即不等式f（x）＞

3

ex

+1（e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（0，+∞）；
故選A．

點評：本題考查了不等式的解法及構(gòu)造函數(shù)的能力，同時考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．