Question

設(shè)f（x）是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=lg（x²-ax+10），a∈R．
（1）若f（1）=1，求f（x）的解析式；
（2）若a=0，不等式f（k•2^x）+f（4^x+k+1）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）若f（x）的值域?yàn)镽，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（1）=1，求得a=1．求得當(dāng)x＜0時(shí)f（x）的解析式，再由f（0）=0，可得f（x）在R上的解析式．
（2）若a=0，則由f（x）為奇函數(shù)可得它在R上單調(diào)遞增，不等式等價(jià)于k•2^x+4^x+k+1＞0．令t=2^x（t＞0），可得t²+kt+k+1＞0在（0，+∞）恒成立，分離參數(shù)k，利用基本不等式求得k的范圍．
（3）根據(jù)f（x）的值域?yàn)镽，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（1）=1，∴f（1）=lg（11-a）=1，∴11-a=10，即a=1．
此時(shí)，當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，f（x）=-f（-x）=-lg（x²+x+10），又f（0）=0，
故f(x)=

-lg(x2+x+10)，x＜0 0，x=0 lg(x2-x+10)，x＞0

．
（2）若a=0，則由f（x）為奇函數(shù)可得它在R上單調(diào)遞增，
故f（k•2^x）+f（4^x+k+1）＞0，等價(jià)于k•2^x+4^x+k+1＞0．
令t=2^x（t＞0），于是，t²+kt+k+1＞0在（0，+∞）恒成立，
即k＞-

t2+1

t+1

=-

(t+1)2-2(t+1)+2

t+1

=-[(t+1)+

2

t+1

]-2
∵-[（t+1）+

2

t+1

]-2的最大值為2-2

2

，
∴k＞2-2

2

．
（3）要使f（x）有意義，首先需滿足x²-ax+10＞0在（0，+∞）上恒成立，
即a＜x+

10

x

．
由基本不等式求得x+

10

x

≥2

x• 10 x

=2

10

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

10

x

時(shí)，即x=

10

取等號(hào)，
∴a＜2

10

．
其次，要使f（x）的值域?yàn)镽，需要x²-ax+10=1能取遍所有的正數(shù)，
故x²-ax+10=1在（0，+∞）上有解，
由a=x+

9

x

≥6，當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)，等號(hào)成立．
綜上可得6≤a＜2

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．