Question

17．設(shè)實(shí)數(shù)a，b均為區(qū)間[0，1]內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，則關(guān)于x的不等式$b{x^2}+ax+\frac{1}{4}＜0$有實(shí)數(shù)解的概率為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由關(guān)于x的不等式bx²+ax+$\frac{1}{4}$＜0有實(shí)數(shù)解可化為△=a²-b＞0；
從而可得關(guān)于x的不等式bx²+ax+$\frac{1}{4}$＜0有實(shí)數(shù)解的概率為圖中陰影部分與正方形的面積比，得出結(jié)果．

解答 解：由題意，若b=0，a≠0時(shí)，不等式bx²+ax+$\frac{1}{4}$＜0有實(shí)數(shù)解；
若b≠0，則△=a²-b＞0；
作出平面區(qū)域如下，

關(guān)于x的不等式bx²+ax+$\frac{1}{4}$＜0有實(shí)數(shù)解的概率為圖中陰影部分與正方形的面積比，
S_陰=${∫}_{0}^{1}$x²dx=$\frac{1}{3}$•x³${|}_{0}^{1}$=$\frac{1}{3}$；
故$\frac{{S}_{陰影}}{{S}_{正方形}}$=$\frac{\frac{1}{3}}{1×1}$=$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了幾何概型的概率求法以及作圖能力和積分的運(yùn)算問題，是綜合性題目．