Question

7．求證：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）至多有兩個(gè)不相等的實(shí)根．

Answer 1

分析 假設(shè)一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）至少有三個(gè)不相等的實(shí)根，不妨有三個(gè)不相等的實(shí)根，設(shè)為m，n，p，代入方程，相減，可得m=p這與假設(shè)矛盾，即可證明結(jié)論．

解答 證明：假設(shè)一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）至少有三個(gè)不相等的實(shí)根，
不妨有三個(gè)不相等的實(shí)根，設(shè)為m，n，p，則
am²+bm+c=0 ①； an²+bn+c=0②； ap²+bp+c=0③
①和③分別減②有 a（m²-n²）+b（m-n）=0，a（p²-n²）+b（p-n）=0，
因?yàn)閙≠n，p≠n，上面兩式分別有m+n=-$\frac{a}$，p+n=-$\frac{a}$，即m+n=p+n，即m=p
這與假設(shè)矛盾，
∴一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）至多有兩個(gè)不相等的實(shí)根．

點(diǎn)評(píng) 本題考查反證法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，關(guān)鍵是歸謬論證．