Question

7．求證：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）至多有兩個不相等的實根．

Answer 1

分析 假設一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）至少有三個不相等的實根，不妨有三個不相等的實根，設為m，n，p，代入方程，相減，可得m=p這與假設矛盾，即可證明結論．

解答 證明：假設一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）至少有三個不相等的實根，
不妨有三個不相等的實根，設為m，n，p，則
am²+bm+c=0 ①； an²+bn+c=0②； ap²+bp+c=0③
①和③分別減②有 a（m²-n²）+b（m-n）=0，a（p²-n²）+b（p-n）=0，
因為m≠n，p≠n，上面兩式分別有m+n=-$\frac{a}$，p+n=-$\frac{a}$，即m+n=p+n，即m=p
這與假設矛盾，
∴一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）至多有兩個不相等的實根．

點評 本題考查反證法的運用，考查學生分析解決問題的能力，關鍵是歸謬論證．