Question

13．解下列關(guān)于x的不等式：
（1）ax²+（a-1）x-1＞0；
（2）$\frac{{x}^{2}-x-6}{{x}^{2}-x-12}$＞0．

Answer 1

分析 （1）原不等式為（x+1）（ax-1）＞0，由a=0、a＞0、a=-1、-1＜a＜0、a＜-1五種情況進(jìn)行分類(lèi)討論，能求出原不等式的解集．
（2）利用穿根引線(xiàn)法能求出原不等式的解集．

解答 解：（1）∵ax²+（a-1）x-1＞0，∴（x+1）（ax-1）＞0，
①當(dāng)a=0時(shí)，不等式化為-x-1＞0，解得x＜-1，∴原不等式的解集為{x|x＜-1}；
②當(dāng)a＞0時(shí)，解方程ax²+（a-1）x-1=0，得x₁=-1，x₂=$\frac{1}{a}$，
∴原不等式的解集為{x|x＜-1或x＞$\frac{1}{a}$}；
③當(dāng)a=-1時(shí)，不等式化為（x+1）²＜0
∴原不等式無(wú)解；
④當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，解方程ax²+（a-1）x-1=0，得x₁=-1，x₂=$\frac{1}{a}$，
∴原不等式的解集為{x|$\frac{1}{a}$＜x＜-1}；
⑤當(dāng)a＜-1時(shí)，解方程ax²+（a-1）x-1=0，得x₁=-1，x₂=$\frac{1}{a}$，
∴原不等式的解集為{x|-1＜x＜$\frac{1}{a}$}．
（2）∵$\frac{{x}^{2}-x-6}{{x}^{2}-x-12}$＞0，∴$\frac{（x+2）（x-3）}{（x+3）（x-4）}$＞0，
如圖，利用穿根引線(xiàn)法得原不等式的解集為：{x|x＜-3或2＜x＜3或x＞4}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的解集的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類(lèi)討論思想和穿根引線(xiàn)法的合理運(yùn)用．