Question

6．已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（$\frac{π}{12}$，-2），（$\frac{7π}{12}$，2），且在區(qū)間（$\frac{π}{12}$，$\frac{7π}{12}$）上為單調(diào)函數(shù)，設(shè)a_n=nf（$\frac{nπ}{3}$）（n∈N^*），則數(shù)列{a_n}的前30項(xiàng)和S₃₀為（　�。�

• A． -10$\sqrt{3}$
• B． -$\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 10$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由題意可得：$\frac{2π}{ω}$=2×$（\frac{7π}{12}-\frac{π}{12}）$，解得ω．代入2=2$sin（\frac{7π}{6}+φ）$，解得φ．可得f（x）=2sin$（2x-\frac{2π}{3}）$．可得a_n=nf（$\frac{nπ}{3}$）=2n$sin（\frac{2nπ}{3}-\frac{2π}{3}）$，利用三角函數(shù)與數(shù)列的周期性即可得出．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（$\frac{π}{12}$，-2），（$\frac{7π}{12}$，2），且在區(qū)間（$\frac{π}{12}$，$\frac{7π}{12}$）上為單調(diào)函數(shù)，
∴$\frac{2π}{ω}$=2×$（\frac{7π}{12}-\frac{π}{12}）$，解得ω=2．
∴2=2$sin（\frac{7π}{6}+φ）$，解得φ=-$\frac{2π}{3}$．
∴f（x）=2sin$（2x-\frac{2π}{3}）$．
∴a_n=nf（$\frac{nπ}{3}$）=2n$sin（\frac{2nπ}{3}-\frac{2π}{3}）$，
數(shù)列$\{sin（\frac{2nπ}{3}-\frac{2π}{3}）\}$的周期為3．
a₁=0，a₂=4$sin\frac{2π}{3}$=2$\sqrt{3}$，a₃=-6$sin\frac{2π}{3}$=-3$\sqrt{3}$，
∴a₁+a₂+a₃=-$\sqrt{3}$，
∴a₁+a₂+…+a₆+…+a₃₀
=-10$\sqrt{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、數(shù)列的求和，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．