Question

14．命題p：?x∈[1，2]，使x²+2x≥a成立；命題q：?x∈R，都有3^x-9^x＜a恒成立．若p∨q為真，p∧q為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 命題p：?x∈[1，2]，使x²+2x≥a成立，則（x²+2x）_max≥a；命題q：由于?x∈R，都有3^x-9^x＜a恒成立，可得a＞（3^x-9^x）_max．若p∨q為真，p∧q為假，則p與q必然一真一假．即可得出．

解答 解：命題p：?x∈[1，2]，使x²+2x≥a成立，而（x²+2x）_max=2²+2×2=8，∴a≤8；
命題q：3^x-9^x=-$（{3}^{x}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}$$≤\frac{1}{4}$，由于?x∈R，都有3^x-9^x＜a恒成立，∴$a＞\frac{1}{4}$．
若p∨q為真，p∧q為假，則p與q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤8}\\{a≤\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a＞8}\\{a＞\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
解得$a≤\frac{1}{4}$，或a＞8．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是$a≤\frac{1}{4}$，或a＞8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、復(fù)合命題的真假的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．