Question

2．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁=1，a₂=2，且a_n+2=3S_n-S_n+1+3，n∈N^*．
（1）證明：a_n+2=3a_n，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求S_n．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列遞推關(guān)系式，結(jié)合a_n與S_n的關(guān)系得出結(jié)論；
（2）利用分類(lèi)討論思想寫(xiě)出數(shù)列通項(xiàng)，結(jié)合等比數(shù)列再進(jìn)行分類(lèi)求和．

解答 （1）證明：∵對(duì)任意的n∈N^*，有a_n+2=3S_n-S_n+1+3，①
∴對(duì)任意的n∈N^*，n≥2，有a_n+1=3S_n-1-S_n+3．②
①-②，得a_n+2-a_n+1=3a_n-a_n+1，即a_n+2=3a_n，n≥2．
又∵a₁=1，a₂=2，
∴a₃=3S₁-S₂+3=3a₁-（a₁+a₂）+3=3a₁．
∴對(duì)一切n∈N^*，a_n+2=3a_n．
∵a_n≠0，
∴$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=3，
∴數(shù)列{a_2n-1}是首項(xiàng)a₁=1，公比為3的等比數(shù)列；數(shù)列{a_2n}是首項(xiàng)a₂=2，公比為3的等比數(shù)列．
∴a_2n-1=3^n-1，a_2n=2×3^n-1．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{\frac{n+1}{2}-1（n為奇數(shù)）}}\\{{2}^{\frac{n}{2}-1（n為偶數(shù)）}}\end{array}\right.$．
（2）解：由（1）知，a_2n-1=3^n-1，a_2n=2×3^n-1．
則S_2n=a₁+a₂+…+a_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）=（1+3+…+3^n-1）+2×（1+3+…+3^n-1）=3×（1+3+…+3^n-1）=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{2}$，
故S_2n-1=S_2n-a_2n=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{2}$-2×3^n-1=$\frac{3}{2}$×（5×3^n-2-1）．
綜上所述，S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}（5×{3}^{\frac{n-2}{2}-1}），（n=2k+1，k∈{N}^{+}）}\\{\frac{3}{2}（{3}^{\frac{n}{2}-1}），（n=2k，k∈{N}^{+}）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系式、等比數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式，結(jié)合轉(zhuǎn)化思想和分類(lèi)討論思想求解數(shù)列問(wèn)題，意在考查考生對(duì)數(shù)列遞推關(guān)系的理解和運(yùn)算求解能力．