Question

1．已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a，點(diǎn)E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，則異面直線EF與AC所成的角為（　�。�

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 取AB中點(diǎn)G，推導(dǎo)出∠GEF是異面直線EF與AC所成的角（或所成角的補(bǔ)角），由此能求出異面直線EF與AC所成的角的大�。�

解答 解：取AB中點(diǎn)G，連結(jié)AE、DE、GE、GF，
則AE=DE=$\sqrt{{a}^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，EF=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}-（\frac{a}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
GF=GE=$\frac{a}{2}$，GE∥AC，
∴∠GEF是異面直線EF與AC所成的角（或所成角的補(bǔ)角），
∴cos∠GEF=$\frac{\frac{{a}^{2}}{4}+\frac{2}{4}{a}^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}}{2×\frac{a}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠GEF=45°．
∴異面直線EF與AC所成的角為45°．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意余弦定理的合理運(yùn)用．