Question

13．已知點(diǎn)A（1，1），點(diǎn)P在曲線f（x）=x³-3x²+3x（0≤x≤2）上，點(diǎn)Q在直線y=3x-14上，M為線段PQ的中點(diǎn)，則|AM|的最小值為（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{10}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{10}}{2}$
• C． $\sqrt{10}$
• D． $\frac{7\sqrt{10}}{5}$

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為3，求得切線的方程，以及中點(diǎn)M所在直線的方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式求出A到它們的距離，即可得到最小值．

解答 解：f（x）=x³-3x²+3x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²-6x+3，
令f′（x）=3，解得x=0或2，
可得與直線y=3x-14平行，且與y=f（x）圖象相切的直線為y=3x或y=3x-4，
可得中點(diǎn)M所在直線的方程為y=3x-7或y=3x-9，
由圖象可得A到直線y=3x-7的距離為$\frac{|3-7-1|}{\sqrt{1+9}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
A到直線y=3x-9的距離為$\frac{|3-9-1|}{\sqrt{1+9}}$=$\frac{7\sqrt{10}}{10}$．
即有|AM|的最小值為$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查兩平行直線的距離，以及兩點(diǎn)的距離的最小值的求法，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．