Question

3．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．
（1）在正方形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)P，求滿足|PE|＜1的概率；
（2）從A、B、C、D、E、F、G、H這八個(gè)點(diǎn)中，隨機(jī)選取兩個(gè)點(diǎn)，記這兩個(gè)點(diǎn)之間的距離的平方為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）這是一個(gè)幾何概型，點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域是正方形ABCD的內(nèi)部，滿足|PE|＜1的點(diǎn)P構(gòu)成的平面區(qū)域是以E為圓心，1為半徑的圓的內(nèi)部與正方形ABCD內(nèi)部的公共部分，利用幾何概率計(jì)算公式即可得出．
（2）從A、B、C、D、E、F、G、H這八個(gè)點(diǎn)中，任意選取兩個(gè)點(diǎn)，共可構(gòu)成${∁}_{8}^{2}$=28條不同的線段，其中長(zhǎng)度為1的線段有8條，長(zhǎng)度為$\sqrt{2}$的線段有4條，長(zhǎng)度為2的線段有6條，長(zhǎng)度為$\sqrt{5}$的線段有8條，長(zhǎng)度為2$\sqrt{2}$的線段有2條．
可得：ξ所有可能的取值為1，2，4，5，8．利用古典概率計(jì)算公式即可得出概率、分布列及其數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）這是一個(gè)幾何概型，點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域是正方形ABCD的內(nèi)部，S_{正方形ABCD}=4．
滿足|PE|＜1的點(diǎn)P構(gòu)成的平面區(qū)域是以E為圓心，1為半徑的圓的內(nèi)部與正方形ABCD內(nèi)部的公共部分，其面積$S=\frac{π}{2}$．
∴滿足|PE|＜1的概率為$\frac{π}{8}$．
（2）從A、B、C、D、E、F、G、H這八個(gè)點(diǎn)中，任意選取兩個(gè)點(diǎn)，共可構(gòu)成${∁}_{8}^{2}$=28條不同的線段，其中長(zhǎng)度為1的線段有8條，長(zhǎng)度為$\sqrt{2}$的線段有4條，長(zhǎng)度為2的線段有6條，長(zhǎng)度為$\sqrt{5}$的線段有8條，長(zhǎng)度為2$\sqrt{2}$的線段有2條．
∴ξ所有可能的取值為1，2，4，5，8．
且P（ξ=1）$\frac{8}{28}$=$\frac{2}{7}$，P（ξ=2）=$\frac{4}{28}$=$\frac{1}{7}$，P（ξ=4）$\frac{6}{28}$=$\frac{3}{14}$，P（ξ=5）=$\frac{8}{28}$=$\frac{2}{7}$，P（ξ=8）=$\frac{2}{28}$=$\frac{1}{14}$．
∴隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξ	1	2	4	5	8
P	$\frac{2}{7}$	$\frac{1}{7}$	$\frac{3}{14}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{1}{14}$

隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望為E（ξ）=$1×\frac{2}{7}$+2×$\frac{1}{7}$+4×$\frac{3}{14}$+5×$\frac{2}{7}$+8×$\frac{1}{14}$=$\frac{24}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了幾何概型、古典概率計(jì)算公式、離散性隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．