Question

19．已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若A=120°，a=3$\sqrt{3}$
（1）求bc的最大值；
（2）若D為BC邊上靠近點B的一個三等分點，求AD的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理可得：$（3\sqrt{3}）^{2}$=b²+c²-2bccos120°≥2bc+bc，解得bc即可．
（2）如圖所示，以BC所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系．D$（-\frac{1}{2}\sqrt{3}，0）$．∠BAC=120°，可得∠OEC=60°．E$（0，-\frac{3}{2}）$，EC=3．點A所在圓的方程為：x²+$（y+\frac{3}{2}）^{2}$=9，$（-\frac{3}{2}\sqrt{3}＜x＜\frac{3\sqrt{3}}{2}，0＜y≤\frac{3}{2}）$．可設(shè)設(shè)x=3cosθ，y=-$\frac{3}{2}$+3sinθ，$\frac{π}{6}＜θ＜\frac{5π}{6}$，$sin（θ-\frac{π}{6}）$∈（0，1]．代入|AD|²=$（x+\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+{y}^{2}$，化簡整理即可得出．

解答 解：（1）由余弦定理可得：$（3\sqrt{3}）^{2}$=b²+c²-2bccos120°≥2bc+bc，解得bc≤9，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=3時取等號，
∴bc的最大值為9
（2）如圖所示，以BC所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系．D$（-\frac{1}{2}\sqrt{3}，0）$．
∵∠BAC=120°，可得∠OEC=60°．
∴E$（0，-\frac{3}{2}）$，EC=3．
∴點A所在圓的方程為：x²+$（y+\frac{3}{2}）^{2}$=9，$（-\frac{3}{2}\sqrt{3}＜x＜\frac{3\sqrt{3}}{2}，0＜y≤\frac{3}{2}）$．
可設(shè)設(shè)x=3cosθ，y=-$\frac{3}{2}$+3sinθ，$\frac{π}{6}＜θ＜\frac{5π}{6}$，$sin（θ-\frac{π}{6}）$∈（0，1]．
∴|AD|²=$（x+\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+{y}^{2}$=$（3cosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$+$（-\frac{3}{2}+3sinθ）^{2}$
=-$6\sqrt{3}$$sin（θ-\frac{π}{6}）$+12∈$（12-6\sqrt{3}，12]$，
∴|AD|∈$（3-\sqrt{3}，2\sqrt{3}]$．

點評 本題考查了余弦定理、基本不等式的性質(zhì)、圓的方程及其應(yīng)用、三角函數(shù)求值、和差化積，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．