Question

18．定積分${∫}_{0}^{\sqrt{2}}$（$\sqrt{2-{x}^{2}}$-x）dx的值為$\frac{π}{2}$-1．

Answer 1

分析 定積分${∫}_{0}^{\sqrt{2}}$$\sqrt{2-{x}^{2}}$dx表示表示以原點(diǎn)為圓心以$\sqrt{2}$為半徑的圓的面積的四分之一，根據(jù)分步積分法即可求出答案．

解答 解：定積分${∫}_{0}^{\sqrt{2}}$$\sqrt{2-{x}^{2}}$dx表示表示以原點(diǎn)為圓心以$\sqrt{2}$為半徑的圓的面積的四分之一，
∴${∫}_{0}^{\sqrt{2}}$$\sqrt{2-{x}^{2}}$dx=$\frac{π}{4}$×2=$\frac{π}{2}$，
${∫}_{0}^{\sqrt{2}}$xdx=$\frac{1}{2}{x}^{2}$|${\;}_{0}^{\sqrt{2}}$=1，
∴${∫}_{0}^{\sqrt{2}}$（$\sqrt{2-{x}^{2}}$-x）dx=$\frac{π}{2}$-1，
故答案為：$\frac{π}{2}$-1，

點(diǎn)評(píng) 本題考查定積分的幾何意義以及定積分的計(jì)算，屬基礎(chǔ)題