Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+3x，x≥0}\\{{x}^{2}-3x，x＜0}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的不等式[f（x）]²+af（x）＜0恰有1個整數(shù)解，則實數(shù)a的最大值是（　　）

• A． 9
• B． 10
• C． 11
• D． 12

Answer 1

分析 函數(shù)f（x），如圖所示，[f（x）]²+af（x）＜0，當(dāng)a＞0時，-a＜f（x）＜0．由于關(guān)于x的不等式[f（x）]²+af（x）＜0恰有1個整數(shù)解，因此其整數(shù)解為4，f（3）=0．可得f（5）≤-a，-a＜f（4）＜0，解出即可得出．

解答 解：函數(shù)f（x），如圖所示，
[f（x）]²+af（x）＜0，
當(dāng)a＞0時，-a＜f（x）＜0，
由于關(guān)于x的不等式[f（x）]²+af（x）＜0恰有1個整數(shù)解，
因此其整數(shù)解為4，又f（5）=-5²+3×5=-10．
f（4）=-4²+3×4=-4，f（3）=-3²+3×3=0．
∴f（5）≤-a，-a＜f（4）＜0．
則10≥a＞4，
a≤0不必考慮，
可得：實數(shù)a的最大值是10．
故選：B．

點評 本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．