Question

12．已知F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0）是橢圓$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{n}$=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，∠F₁PF₂=α．當(dāng)α=$\frac{2π}{3}$時(shí)，△F₁PF₂面積最大，則m+n的值是（　　）

• A． 41
• B． 15
• C． 9
• D． 1

Answer 1

分析 由∠F₁PF₂=α．當(dāng)α=$\frac{2π}{3}$時(shí)，△F₁PF₂面積最大，可得此時(shí)點(diǎn)P為橢圓的一個(gè)短軸的端點(diǎn)，∠F₁PO=$\frac{π}{3}$．可得
$b=\frac{1}{2}$a，又c=3，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．

解答 解：∵∠F₁PF₂=α．當(dāng)α=$\frac{2π}{3}$時(shí)，△F₁PF₂面積最大，
∴此時(shí)點(diǎn)P為橢圓的一個(gè)短軸的端點(diǎn)，∴∠F₁PO=$\frac{π}{3}$．
∴$b=\frac{1}{2}$a，又c=3，a²=b²+c²，
聯(lián)立解得b²=3，a²=12．
∴m+n=a²+b²=15．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、三角形面積計(jì)算公式、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．