Question

7．已知F為拋物線C：y²=2px的焦點(diǎn)，點(diǎn)A（3，m）在拋物線C上，且|AF|=5．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過點(diǎn)F作斜率為2的直線交拋物線C于P、Q兩點(diǎn)，求弦PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的定義，建立方程即可求出p的值，進(jìn)而確定答案．
（2）利用點(diǎn)差法，即可求弦PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）由題知3+$\frac{p}{2}$=5，
∴p=4，
故C的方程為y²=8x；
（2）F（2，0），設(shè)P（ x₁，y₁）、Q（ x₂，y₂），中點(diǎn)（ x₀，y₀），
則y₁²=8x₁，y₂²=8x₂，
兩式相減得（y₁+y₂）×2=8，
∴y₀=2．
又中點(diǎn)在直線PQ上，$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=2，
∴x₀=3，即中點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）．

點(diǎn)評 本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用和拋物線的基本性質(zhì)．考查對基礎(chǔ)知識的靈活運(yùn)用．