Question

5．在銳角△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，滿足acosB=b（1+cosA），且△ABC的面積S=2，則（c+a-b）（c+b-a）的取值范圍是（　�。�

• A． （8$\sqrt{2}$-8，8）
• B． （$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，8）
• C． （8$\sqrt{2}$-8，$\frac{8\sqrt{3}}{3}$）
• D． （8，8$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 由題意利用正弦定理求得sin（A-B）=sinB，可得A=2B＜$\frac{π}{2}$，B∈（0，$\frac{π}{4}$），再根據(jù)A+B=3B∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），可得C的范圍，進(jìn)而得到$\frac{C}{2}$的范圍．把要求的式子利用余弦定理、二倍角公式化為8tan$\frac{C}{2}$，從而求得它的范圍．

解答 解：在銳角△ABC中，∵a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，滿足acosB=b（1+cosA），
∴sinAcosB=sinB+sinBcosA，sin（A-B）=sinB，
∴A-B=B，即A=2B＜$\frac{π}{2}$，∴B∈（0，$\frac{π}{4}$），∴A+B=3B∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），故C∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），∴$\frac{C}{2}$∈（$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{4}$），
∴tanC=$\frac{2tan\frac{C}{2}}{1{-tan}^{2}\frac{C}{2}}$＞1，求得1＞tan$\frac{C}{2}$＞-1+$\sqrt{2}$．
∵△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$ab•sinC=2，∴ab=$\frac{4}{sinC}$，
則（c+a-b）（c+b-a）=c²-（a-b）²=c²-a²-b²+2ab=-2ab•cosC+2ab=2ab（1-cosC）=$\frac{8}{sinC}$（1-cosC）
=8$\frac{1-（1-{2sin}^{2}\frac{C}{2}）}{2sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}}$=8tan$\frac{C}{2}$∈（8$\sqrt{2}$-8，8），
故選：A．

點評 本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，三角形內(nèi)角和公式，二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．