Question

12．已知矩陣A=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{-1}&{4}\end{array}]$，求矩陣A的特征值和特征向量．

Answer 1

分析 先根據(jù)特征值的定義列出特征多項式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組求出相應的特征向量．

解答 解：∵矩陣A=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{-1}&{4}\end{array}]$，
設(shè)矩陣A的特征多項式為f（λ）=${|}_{1}^{λ-1}$ ${\;}_{λ-4}^{-2}$|=（λ-1）（λ-4）+2=λ²-5λ+6，
令f（λ）=0，解得λ₁=2，λ₂=3，
將λ₁=2代入二元一次方程組$\left\{\begin{array}{l}{（λ-1）x+2y=0}\\{-x+（λ-4）y=0}\end{array}\right.$
解得x=2，y=-1
所以矩陣A屬于特征值2的一個特征向量為$\underset{\stackrel{\;}[}{\;}$$\underset{\stackrel{2}{\;}}{-1}$ $]_{\;}^{\;}$；
同理，矩陣A屬于特征值3的一個特征向量為$[_{\;}^{\;}$$\underset{\stackrel{1}{\;}}{-1}$ $]_{\;}^{\;}$．

點評 本題主要考查了矩陣特征值與特征向量的計算問題，也考查了運算求解的能力，是基礎(chǔ)題目．