【題目】已知函數(shù)().
(1)當時,判斷的單調性;
(2)若函數(shù)無零點,求a的取值范圍.
【答案】(1)在上單調遞增,在,上單調遞減(2)
【解析】
(1)先求導數(shù),再求導函數(shù)零點,根據零點討論導函數(shù)符號變化規(guī)律,即得函數(shù)單調性;
(2)先根據且函數(shù)無零點,得恒成立,方法一:對分類討論并參變分離,轉化為求對應函數(shù)最值,再根據導數(shù)求對應函數(shù)最值,即可得結果;方法二:轉化研究單調性,對分類討論,結合單調性確定最值,即得結果.
解:(1)當時,,
,
令得;令得或.
在上單調遞增,在,上單調遞減.
(2)方法一:因為 ,且函數(shù)無零點,
,成立,即恒成立,
.
①當時,恒成立,.
②當時,,令,則,
,
又在上單調遞增,且時,,
令得,,
x | 1 | ||
0 | |||
單調遞減 | 極小值 | 單調遞增 |
,.
③當時,,則.
又在上單調遞增,,
令得,即,
x | |||
0 | |||
單調遞增 | 極大值 | 單調遞減 |
,.
綜上,.
方法二:因為,且函數(shù)無零點,
,成立,即恒成立,
恒成立,即恒成立.
而,
①當時,在,單調遞減,在單調遞增,
的極大值為,
恒成立,即極大值且當時,.
(i)若,且 在單調遞增,
有,
此時成立.
(ii)由得,
②當時,成立.
③當時,在,單調遞減,在單調遞增,
的極大值為,
恒成立,即極大值且當時,.
(i)若,因為在單調遞增,且,
有,
此時成立.
(ii)由得.
綜上,.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某工廠生產的10件產品中,有8件合格品、2件不合格品,合格品與不合格品在外觀上沒有區(qū)別.從這10件產品中任意抽檢2件,計算:
(1)2件都是合格品的概率;
(2)1件是合格品、1件是不合格品的概率;
(3)如果抽檢的2件產品都是不合格品,那么這批產品將被退貨,求這批產品被退貨的概率.
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【題目】在平面直角坐標系中,以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的方程為,過點的直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(Ⅰ)求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程;
(Ⅱ)若直線與曲線交于、兩點,求的值,并求定點到,兩點的距離之積.
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【題目】圓O:x2+y2=8內有一點P(﹣1,2),AB為過點P且傾斜角為α的弦,
(1)當α=135°時,求AB的長;
(2)當弦AB被點P平分時,寫出直線AB的方程.
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【題目】某省即將實行新高考,不再實行文理分科.某校研究數(shù)學成績優(yōu)秀是否對選擇物理有影響,對該校2018級的500名學生進行調在收集到相關數(shù)據如下:
選物理 | 不選物理 | 總計 | |
數(shù)學成績優(yōu)秀 | |||
數(shù)學成績不優(yōu)秀 | 130 | ||
總計 | 300 | 500 |
(1)根據以上提供的信息,完成列聯(lián)表,并完善等高條形圖;
(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為數(shù)學成績優(yōu)秀與選物理有關?
附:.
臨界值表:
P() | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879> | 10.828 |
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【題目】某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分用莖葉圖表示,莖葉圖中甲得分的部分數(shù)據被墨跡污損不清(如圖1),但甲得分的折線圖完好(如圖2),則下列結論錯誤的是( )
A.乙運動員得分的中位數(shù)是17,甲運動員得分的極差是19
B.甲運動員發(fā)揮的穩(wěn)定性比乙運動員發(fā)揮的穩(wěn)定性差
C.甲運動員得分有的葉集中在莖1上
D.甲運動員得分的平均值一定比乙運動員得分的平均值低
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】假設關于某設備的使用年限x(年)和所支出的維修費用y萬元有如下的統(tǒng)計資料:
x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
(1)畫出散點圖并判斷是否線性相關;
(2)如果線性相關,求線性回歸方程;
(3)估計使用年限為10年時,維修費用是多少?
附注:①參考公式:回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計分別為;
②參考數(shù)據:
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