Question

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）當時，判斷的單調性；

（2）若函數(shù)無零點，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）在上單調遞增，在，上單調遞減（2）

【解析】

（1）先求導數(shù)，再求導函數(shù)零點，根據零點討論導函數(shù)符號變化規(guī)律，即得函數(shù)單調性；

（2）先根據且函數(shù)無零點，得恒成立，方法一：對分類討論并參變分離，轉化為求對應函數(shù)最值，再根據導數(shù)求對應函數(shù)最值，即可得結果；方法二：轉化研究單調性，對分類討論，結合單調性確定最值，即得結果.

解：（1）當時，，

，

令得；令得或.

在上單調遞增，在，上單調遞減.

（2）方法一：因為 ，且函數(shù)無零點，

，成立，即恒成立，

.

①當時，恒成立，.

②當時，，令，則，

，

又在上單調遞增，且時，，

令得，，

x		1
		0
	單調遞減	極小值	單調遞增

，.

③當時，，則.

又在上單調遞增，，

令得，即，

x
		0
	單調遞增	極大值	單調遞減

，.

綜上，.

方法二：因為，且函數(shù)無零點，

，成立，即恒成立，

恒成立，即恒成立.

而，

①當時，在，單調遞減，在單調遞增，

的極大值為，

恒成立，即極大值且當時，.

（i）若，且 在單調遞增，

有，

此時成立.

（ii）由得，

②當時，成立.

③當時，在，單調遞減，在單調遞增，

的極大值為，

恒成立，即極大值且當時，.

（i）若，因為在單調遞增，且，

有，

此時成立.

（ii）由得.

綜上，.