如圖,四邊形中,為正三角形,,,與交于點(diǎn).將沿邊折起,使點(diǎn)至點(diǎn),已知與平面所成的角為,且點(diǎn)在平面內(nèi)的射影落在內(nèi).
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)若已知二面角的余弦值為,求的大小.
(Ⅰ)由為的中點(diǎn),可得,又,所以平面 ;
(Ⅱ).
解析試題分析:(Ⅰ)易知為的中點(diǎn),
則,又,
又,平面,
所以平面 (4分)
(Ⅱ)方法一:以為軸,為軸,過垂直于
平面向上的直線為軸建立如圖所示空間
直角坐標(biāo)系,則, (6分)
易知平面的法向量為 (7分)
,設(shè)平面的法向量為
則由得,
解得,,令,則 (9分)
則
解得,,即,即,
又,∴ 故.(12分)
考點(diǎn):本題主要考查立體幾何中的垂直關(guān)系,角的計(jì)算。
點(diǎn)評:典型題,立體幾何題,是高考必考內(nèi)容,往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離的計(jì)算。在計(jì)算問題中,有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法,要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟,本題利用向量法,簡化了證明過程。折疊問題,要注意折疊前后“變”與“不變”的量。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,三棱錐中,底面于,,,點(diǎn)是的中點(diǎn).
(1)求證:側(cè)面平面;
(2)若異面直線與所成的角為,且,
求二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知某幾何體的直觀圖和三視圖如下圖所示,其正視圖為矩形,側(cè)視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形
(1)求證:; (2)求證:;
(3)設(shè)為中點(diǎn),在邊上找一點(diǎn),使平面,并求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在三棱錐P-ABC中, AB="AC=4," D、E、F分別為PA、PC、BC的中點(diǎn), BE="3," 平面PBC⊥平面ABC, BE⊥DF.
(Ⅰ)求證:BE⊥平面PAF;
(Ⅱ)求直線AB與平面PAF所成的角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,正方體ABCD—A1B1C1D1棱長為8,E、F分別為AD1,CD1中點(diǎn),G、H分別為棱DA,DC上動(dòng)點(diǎn),且EH⊥FG.
(1)求GH長的取值范圍;
(2)當(dāng)GH取得最小值時(shí),求證:EH與FG共面;并求出此時(shí)EH與FG的交點(diǎn)P到直線的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖一,△ABC是正三角形,△ABD是等腰直角三角形,AB=BD=2。將△ABD沿邊AB折起, 使得△ABD與△ABC成30o的二面角,如圖二,在二面角中.
(1) 求D、C之間的距離;
(2) 求CD與面ABC所成的角的大小;
(3) 求證:對于AD上任意點(diǎn)H,CH不與面ABD垂直。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本題滿分12分)
如圖,四棱錐P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn)。
(1)求證:CD⊥AE;
(2)求證:PD⊥面ABE。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)已知直三棱柱中,△為等腰直角三角形,∠ =,且=,、、分別為、、的中點(diǎn).
(1)求證:∥平面;
(2)求證:⊥平面;
(3)求三棱錐的體積.
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