Question

4．已知曲線C：y=lnx在x=e處的切線為l．
（1）求直線l的方程；
（2）求直線l與曲線C以及x軸所圍成的面積．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=e處的導(dǎo)數(shù)，即在x=e處的切線的斜率，再求出切點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線方程點(diǎn)斜式得答案案；
（2）直接利用定積分求直線l與曲線C以及x軸所圍成的面積．

解答 解：（1）由y=lnx，得$y′=\frac{1}{x}$，
∴$y′{|}_{x=e}=\frac{1}{e}$，
又當(dāng)x=e時(shí)，y=1，
∴曲線C：y=lnx在x=e處的切線方程為y-1=$\frac{1}{e}（x-e）$，
即x-ey=0；
（2）如圖，直線l與曲線C以及x軸所圍成的面積：
S=${∫}_{0}^{1}\frac{x}{e}dx{+∫}_{1}^{e}（\frac{x}{e}-lnx）dx$=$\frac{{x}^{2}}{2e}{|}_{0}^{1}+$$（\frac{{x}^{2}}{2e}-xlnx+x+C）{|}_{1}^{e}$
=$\frac{1}{2e}+\frac{e}{2}-e+e+C-\frac{1}{2e}-1-C=\frac{e}{2}-1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用定積分求曲邊梯形的面積，是中檔題．