Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$+x，x∈[3，5]．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并利用單調(diào)性定義證明；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義證明f（x）的單調(diào)性；
（2）根據(jù)函數(shù)的增減性來求特定區(qū)間上的最值問題；

解答 解：（1）證明：設任意變量x₁，x₂且3＜x₁＜x₂＜5
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{x_1}+{x_1}-\frac{1}{x_2}-{x_2}$
=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}+{x}_{1}-{x}_{2}$
=$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$；
∵3＜x₁＜x₂＜5
∴x₁x₂＞0，x₂-x₁＞0，1-x₁x₂＜0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴函數(shù)f（x）為x∈[3，5]增函數(shù)．
（2）由（1）知函數(shù)f（x）為x∈[3，5]增函數(shù)；
∴$f{（x）_{max}}=\frac{26}{5}，f{（x）_{min}}=\frac{10}{3}$

點評 本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的定義，以及函數(shù)特定區(qū)間上的最值問題，屬基礎題．