Question

15．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=AA₁=3，M是線段B₁D₁的中點(diǎn)．
（1）求證：BM∥平面D₁AC
（2）求B₁到平面D₁AC的距離．

Answer 1

分析 （1）連接BD，與AC相交于O，連接OD₁，則O是BD的中點(diǎn)，證明D₁MBO是平行四邊形，可得D₁O∥MB，即可證明BM∥平面D₁AC
（2）利用三棱錐的體積公式求B₁到平面D₁AC的距離．

解答 （1）證明：連接BD，與AC相交于O，連接OD₁，則O是BD的中點(diǎn)，
∵M(jìn)是線段B₁D₁的中點(diǎn)，
∴D₁M∥BO，D₁M=BO，
∴D₁MBO是平行四邊形，
∴D₁O∥MB，
∵BM?平面D₁AC，D₁O?平面D₁AC
∴BM∥平面D₁AC；
（2）解：∵AB=4，AD=AA₁=3，
∴${V}_{{B}_{1}-{D}_{1}AC}$=4×3×3-$\frac{1}{3}×4×3×3$×$\frac{1}{2}$×3=18，
∵△D₁AC中，D₁A=3$\sqrt{2}$，D₁C=5=AC，
∴${S}_{△{D}_{1}AC}$=$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×\sqrt{25-（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{41}}{2}$，
設(shè)B₁到平面D₁AC的距離為h，則$\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{41}}{2}h$=18，∴h=$\frac{36\sqrt{41}}{41}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定定理，考查點(diǎn)面的距離以及數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．