Question

10．已知函數(shù)f（x）=kx，g（x）=2lnx+2e（$\frac{1}{e}$≤x≤e²），若f（x）與g（x）的圖象上分別存在點M，N，使得M，N關于直線y=e對稱，則實數(shù)k的取值范圍是（　　）

• A． [-$\frac{2}{e}$，-$\frac{4}{{e}^{2}}$]
• B． [-$\frac{2}{e}$，2e]
• C． [-$\frac{4}{{e}^{2}}$，2e]
• D． [$\frac{4}{{e}^{2}}$，+∞）

Answer 1

分析 設M（x，kx），則N（x，2e-kx），推導出k=-$\frac{2}{x}lnx$，由此利用導數(shù)性質能求出實數(shù)k的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=kx，g（x）=2lnx+2e（$\frac{1}{e}$≤x≤e²），
f（x）與g（x）的圖象上分別存在點M，N，使得M，N關于直線y=e對稱，
∴設M（x，kx），則N（x，2e-kx），
∴2e-kx=2lnx+2e，∴k=-$\frac{2}{x}lnx$，
${k}^{'}=\frac{-2+2lnx}{{x}^{2}}$，由k′=0，得x=e，
∵$\frac{1}{e}$≤x≤e²，∴x∈[$\frac{1}{e}$，e）時，k′＜0，k=-$\frac{2}{x}lnx$是減函數(shù)；
x∈（e，e²]時，k′＞0，$k=-\frac{2}{x}lnx$是增函數(shù)，
∴x=e時，k=-$\frac{2}{e}lne=-\frac{2}{e}$；x=e²時，k=-$\frac{2}{{e}^{2}}ln{e}^{2}$=-$\frac{4}{{e}^{2}}$；x=$\frac{1}{e}$時，k=-$\frac{2}{\frac{1}{e}}ln（\frac{1}{e}）=2e$，
∴k_min=-$\frac{2}{e}lne=-\frac{2}{e}$，k_max=-$\frac{2}{\frac{1}{e}}ln（\frac{1}{e}）$=2e．
∴實數(shù)k的取值范圍是[-$\frac{2}{e}$，2e]．
故選：B．

點評 本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質的合理運用．