Question

【題目】已知點(diǎn)，直線上有兩點(diǎn)E，F使，點(diǎn)P在線段的延長線上，且.

（1）若，求點(diǎn)P的軌跡方程；

（2）若在點(diǎn)P的軌跡上存在兩點(diǎn)M，N，設(shè)，的夾角為.

①若，求證：直線過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo)；

②若為銳角，求直線與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見解析，；②或..

【解析】

先利用參數(shù)求出點(diǎn)軌跡方程，

（1）代入后可得（注意去掉原點(diǎn)）；

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，代入（1）中方程然后相減可得，寫出直線方程，令得，

①若，．由此可得，代入后得定點(diǎn)坐標(biāo)；

②若為銳角，，可得的范圍，從而出結(jié)論．

解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，

因?yàn)辄c(diǎn)在線段的延長線上，∴，∴

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，.

，∴，∴.

（1）若，則點(diǎn)的軌跡方程是.

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，

∴，，∴

∴

∴直線的方程是即

令，得.……………………（1）

①若，∴，∴.

∴，∴

代入（1）式得，所以直線過定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)是.

②若為銳角，∴，∴

∴，

∴，∴，

∴或

代入（1）式得或.

直線與軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是或.