Question

如圖，已知ABCD是圓錐SO底面圓O的內(nèi)接矩形．
①當(dāng)AB=AD時(shí)，判斷直線SA與直線BD的位置關(guān)系（不要證明）；
②設(shè)E為SA的中點(diǎn)，G為△AOD的重心，求證：EG∥平面SDC；
③若圓錐SO側(cè)面展開圖示半徑長(zhǎng)為3，面積為3π的扇形，求圓錐SO的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）,直線與平面平行的判定

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：①利用BD⊥平面SAC，可得SA⊥BD；
②延長(zhǎng)OG交AD于H，則H為AD中點(diǎn)，連接EH，證明平面EGH∥平面SDC，可得∥平面SDC；
③求出圓錐的半徑與高，即可求圓錐SO的體積．

解答： ①解：當(dāng)AB=AD時(shí)，SA⊥BD．
∵ABCD是圓錐SO底面圓O的內(nèi)接矩形，AB=AD，
∴BD⊥AC，BD⊥SO
∵SO∩AC=O，
∴BD⊥平面SAC，
∴SA⊥BD；
②證明：延長(zhǎng)OG交AD于H，則H為AD中點(diǎn)，
連接EH，則在△SAD中，EH∥SD，
∵EH?平面SDC，SD?平面SDC，
∴EH∥平面SDC，
同理GH∥平面SDC，
∵EH∩GH=H，
∴平面EGH∥平面SDC，
∵EG?平面EGH，
∴EG∥平面SDC，
③設(shè)圓錐的底面半徑長(zhǎng)為r，母線長(zhǎng)為l，則l=3，πrl=3π，
∴r=1，
∴圓錐SO的體積

1

3

•π•12•

32-12

=

2 2 π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查線面平行，考查圓錐體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．