Question

11．質(zhì)點(diǎn)P從如圖放置的正方形ABCD的頂點(diǎn)A出發(fā)，根據(jù)擲骰子的情況，按照以下的規(guī)則在頂點(diǎn)間來回移動(dòng)：如果朝上數(shù)字大于等于5，向平行于AB邊的方向移動(dòng)；如果朝上數(shù)字小于等于4，向平行于AD邊的方向移動(dòng)．記擲骰子2n（n∈N^*）次后質(zhì)點(diǎn)P回到A點(diǎn)的概率為a_n，回到C點(diǎn)的概率為c_n．
（I）求a₁的值；
（II）當(dāng)n=2時(shí)，設(shè)X表示質(zhì)點(diǎn)P到達(dá)C點(diǎn)的次數(shù)，X的分布列和期望；
（III）當(dāng)m=2015時(shí)，試比較a₂₀₁₅c₂₀₁₅，$\frac{1}{2}$的大�。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意利用互斥事件概率加法公式和相互獨(dú)立事件乘法公式能求出a₁．
（Ⅱ）X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（Ⅲ）當(dāng)m=2015時(shí)，能比較質(zhì)點(diǎn)P回到A點(diǎn)的概率、回到C點(diǎn)的概率和$\frac{1}{2}$的大�。�

解答 解：（Ⅰ）由題意${a}_{1}=\frac{1}{3}×\frac{1}{3}+\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{5}{9}$．
（Ⅱ）X的可能取值為0，1，2，
P（X=0）=（$\frac{1}{3}$）⁴+（$\frac{2}{3}$）⁴+2×（$\frac{1}{3}$）²×（$\frac{2}{3}$）²=$\frac{25}{81}$，
P（X=1）=$4×（\frac{2}{3}）^{2}×（\frac{1}{3}）^{2}$+2×$（\frac{2}{3}）^{3}×\frac{1}{3}+2×（\frac{2}{3}）×（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{36}{81}$，
P（X=2）=$2×（\frac{2}{3}）^{3}×\frac{1}{3}+2×（\frac{2}{3}）×（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{20}{81}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{25}{81}$	$\frac{36}{81}$	$\frac{20}{81}$

∴EX=$0×\frac{25}{81}+1×\frac{36}{81}+2×\frac{20}{81}$=$\frac{76}{81}$．
（Ⅲ）當(dāng)m=2015時(shí)，a₂₀₁₅＞$\frac{1}{2}$＞c₂₀₁₅．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意互斥事件概率加法公式和相互獨(dú)立事件乘法公式的合理運(yùn)用．