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【題目】設兩實數不相等且均不為.若函數在時，函數值的取值區(qū)間恰為，就稱區(qū)間為的一個“倒域區(qū)間”.已知函數.

（1）求函數在內的“倒域區(qū)間”；

（2）若函數在定義域內所有“倒域區(qū)間”的圖象作為函數的圖象，是否存在實數，使得與恰好有2個公共點?若存在，求出的取值范圍：若不存在，請說明理由.

【答案】（1） （2）存在,

【解析】

（1）根據倒域區(qū)間的定義,結合函數的單調性,解方程即可求得的值,可得函數在內的“倒域區(qū)間”.

（2）結合倒域區(qū)間的定義,先求得函數的解析式.根據兩個函數有兩個交點,即可得關于的方程,分離參數得的表達式,根據打勾函數的圖像及性質即可求得的取值范圍.

（1）

由二次函數性質可知, 在時單調遞減

設,則其值域為

所以,化簡可得

因式分解可得

解得,

因為

所以

即倒域區(qū)間為

（2）兩實數不相等且均不為.且滿足時,函數值的取值區(qū)間恰為

則,所以與符號相同,即同為正數或同為負數

因為定義域為

所以存在兩種可能:與

當時,由二次函數的圖像可知

所以滿足,即

所以.由（1）可知其倒域區(qū)間為

當時,由二次函數的圖像可知

所以滿足,即

所以,根據倒域區(qū)間的定義,同理可求得其倒域區(qū)間為

綜上可知,

因為

當時,

令

則

畫出與的圖像

可知沒有交點.

若兩個函數恰有2個公共點,則兩個函數圖像在有2個交點.

即在上有兩個不同交點.

化簡可得,即為打鉤函數.

畫出函數圖像如下圖所示.

則當,即時取得最小值,最小值為

當時,,

當時,

因為

所以為有兩個交點,則的取值范圍為

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某學習小組在暑期社會實踐活動中，通過對某商店一種商品銷售情況的調查發(fā)現(xiàn)：該商品在過去的一個月內（以30天計）的日銷售價格（元）與時間（天）的函數關系近似滿足（為正常數）.該商品的日銷售量（個）與時間（天）部分數據如下表所示：

（天）

10

20

25

30

（個）

110

120

125

120

已知第10天該商品的日銷售收入為121元.

（I）求的值;

（II）給出以下二種函數模型：

①，②，

請你根據上表中的數據，從中選擇你認為最合適的一種函數來描述該商品的日銷售量與時間的關系，并求出該函數的解析式;

（III）求該商品的日銷售收入（元）的最小值.

（函數，在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增.性質直接應用.）

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數．

(1)試作出的圖象,并根據圖象寫出的單調區(qū)間；

(2)若函數有兩個零點,求實數b的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某投資公司計劃投資，兩種金融產品，根據市場調查與預測，產品的利潤與投資金額的函數關系為，產品的利潤與投資金額的函數關系為.（注：利潤與投資金額單位：萬元）

（1）該公司已有100萬元資金，并全部投入，兩種產品中，其中萬元資金投入產品，試把，兩種產品利潤總和表示為的函數，并寫出定義域；

（2）試問：怎樣分配這100萬元資金，才能使公司獲得最大利潤？其最大利潤為多少萬元？

【答案】（1）；（2）20，28.

【解析】

（1）設投入產品萬元，則投入產品萬元，根據題目所給兩個產品利潤的函數關系式，求得兩種產品利潤總和的表達式.（2）利用基本不等式求得利潤的最大值，并利用基本不等式等號成立的條件求得資金的分配方法.

（1）其中萬元資金投入產品，則剩余的（萬元）資金投入產品，

利潤總和為： ，

（2）因為，

所以由基本不等式得：,

當且僅當時，即：時獲得最大利潤28萬.

此時投入A產品20萬元，B產品80萬元.

【點睛】

本小題主要考查利用函數求解實際應用問題，考查利用基本不等式求最大值，屬于中檔題.

【題型】解答題
【結束】
20

【題目】已知曲線.

（1）求曲線在處的切線方程；

（2）若曲線在點處的切線與曲線相切，求的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在五面體中，四邊形為菱形，且，為的中點.

（1）求證：平面；

（2）若平面平面，求點到平面的距離.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓的極坐標方程為.

（1）求直線和圓的普通方程；

（2）已知直線上一點，若直線與圓交于不同兩點，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在測試中，客觀題難度的計算公式為，其中為第題的難度， 為答對該題的人數， 為參加測試的總人數．現(xiàn)對某校高三年級120名學生進行一次測試，共5道客觀題．測試前根據對學生的了解，預估了每道題的難度，如下表所示：

題號

1

2

3

4

5

考前預估難度

0.9

0.8

0.7

0.6

0.4

測試后，從中隨機抽取了10名學生，將他們編號后統(tǒng)計各題的作答情況，如下表所示（“√”表示答對，“×”表示答錯）：

學生編號 題號

1

2

3

4

5

1

×

√

√

√

√

2

√

√

√

√

×

3

√

√

√

√

×

4

√

√

√

×

×

5

√

√

√

√

√

6

√

×

×

√

×

7

×

√

√

√

×

8

√

×

×

×

×

9

√

√

×

×

×

10

√

√

√

√

×

（Ⅰ）根據題中數據，將抽樣的10名學生每道題實測的答對人數及相應的實測難度填入下表，并估計這120名學生中第5題的實測答對人數；

題號

1

2

3

4

5

實測答對人數

實測難度

（Ⅱ）從編號為1到5的5人中隨機抽取2人，求恰好有1人答對第5題的概率；

（Ⅲ）定義統(tǒng)計量，其中為第題的實測難度， 為第題的預估難度．規(guī)定：若，則稱該次測試的難度預估合理，否則為不合理．判斷本次測試的難度預估是否合理.

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【題目】已知定義在R上的函數滿足，且為偶函數，若在內單調遞減，則下面結論正確的是（ ）

A. B.

C. D.

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【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，∠ABD=30°，AB＝2CD＝2AD＝2，DE⊥平面ABCD，EF//BD，且BD＝2EF．

（Ⅰ）求證：平面ADE⊥平面BDEF；

（Ⅱ）若二面角CBFD的大小為60°，求CF與平面ABCD所成角的正弦值．

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