6.已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和,若$Sn=n{a_{n+1}}+{2^n},{a_1}=1$,則數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{n({{a_n}-a{\;}_{n+1}})}}}\right\}$的前n項和Tn=$\frac{3}{2}$-$\frac{2}{{2}^{n}}$.

分析 令n=1,可得求得a2=-1,當(dāng)n≥2時,由an=Sn-Sn-1,求得 $\frac{1}{n{(a}_{n}{-a}_{n+1})}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$,由T1=$\frac{1}{{a}_{1}{-a}_{2}}$=$\frac{1}{2}$,利用等比數(shù)列的求和公式求得Tn的結(jié)果.

解答 解:∵Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,若$Sn=n{a_{n+1}}+{2^n},{a_1}=1$,
令n=1,可得 a1=1=a2+2,求得a2=-1.
當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=nan+1+2n-(n-1)an-2n-1,∴n(an-an+1)=2n-1
∴$\frac{1}{n{(a}_{n}{-a}_{n+1})}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$,∴T1=$\frac{1}{{a}_{1}{-a}_{2}}$=$\frac{1}{2}$,
∴數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{n({{a_n}-a{\;}_{n+1}})}}}\right\}$的前n項和Tn=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}[1{-(\frac{1}{2})}^{n-1}]}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{2}{{2}^{n}}$,
故答案為:$\frac{3}{2}$-$\frac{2}{{2}^{n}}$.

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、遞推關(guān)系,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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