Question

15．已知點(diǎn)是F雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)，過左焦點(diǎn)F作直線與圓心為原點(diǎn)、半徑為實(shí)半軸長(zhǎng)的一半的圓相切于點(diǎn)E，直線FE交雙曲線的右支于點(diǎn)P，點(diǎn)B是直線FE外任意一點(diǎn)，且2$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BF}$+$\overrightarrow{BP}$，則雙曲線的離心率為$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$．

Answer 1

分析 由2$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BF}$+$\overrightarrow{BP}$，可知E為FP的中點(diǎn)，根據(jù)中位線定理求得丨F₁P丨=a，利用雙曲線的定義求得丨FP丨=3a，由勾股定理即可求得2c=$\sqrt{10}a$，再利用雙曲線的離心率公式即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：由題意可知：2$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BF}$+$\overrightarrow{BP}$，
∴E為FP的中點(diǎn)，
由OF=OF₁，
∴OE為△FF₁P的中位線，
由直線FP與圓O相切，OE=$\frac{1}{2}$a，
∴OE⊥FP，
∴丨F₁P丨=a，△FF₁P為直角三角形，
根據(jù)雙曲線的定義可知：丨FP丨-丨F₁P丨=2a，
丨FP丨=3a，
∴丨FF₁丨=$\sqrt{（3a）^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{10}a$
∴2c=$\sqrt{10}a$
雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，
故答案為：$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何，離心率公式，考查三角形的中位線定理，直線與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．